Chuyên đề nguyên hàm - tích phân (Phần 1 - lý thuyết)

NGUYÊN HÀM

1) Khái niệm.

Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K (K  là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , với mọi .

Định lý. Giả sử   là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Khi đó

1. Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của .
2. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C.
3. Họ tất cả các nguyên hàm của là , trong đó là một nguyên hàm của , C là hằng số bất kỳ.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp	Nguyên hàm của hàm số hợp
()	()
; .	;
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.

 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lý. Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì:

1.

2. ;

3. .

2) Một số phương pháp tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì .

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Một số dạng thường gặp:

      Dạng 1.

Cách giải: Đặt

      Dạng 2.

   Cách giải: Đặt

TÍCH PHÂN

1) Định nghĩa.

Cho hàm liên tục trên khoảng K  và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân của từ a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp thì là tích phân của f trên .

2) Tính chất của tích phân

Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3) Một số phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong đó là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp xác định trên J; .

Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách

Cách 1. Đặt ẩn phụ ( là một hàm của x)

Cách 2. Đặt ẩn phụ

( là một hàm số của t).

2. Phương pháp tích phân từng phần.

Định lý. Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và là hai số thuộc K thì

Ứng dụng của tích phân

1) Tính diện tích hình phẳng

• Nếu hàm số liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là .
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là 

2) Tính thể tích vật thể.

• Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm là . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một hàm liên tục.

3) Tính thể tích khối tròn xoay.

• Hàm số liên tục và không âm trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .

Nguyễn Thành Đô