SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐỂ KHẢO SÁT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

PHẦN I : Lý thuyết cơ bản :

 1) Định nghĩa :

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b).

*  Hàm số f(x) liên tục tại x0 thuộc (a;b) nếu .

* Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b).

* Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a;b); và ,

 2) Các phép toán :

* Nếu f và g là 2 hàm số liên tục tại x thì các hàm số f+g, f-g, f.g cũng liên tục tại x, và nếu g(x)≠0 thì f/g liên tục tại x.

* Nếu hàm số f liên tục tại x và hàm g liên tục tại y=f(x) thì hàm hợp g.f liên tục tại x.

3) Tính chất :

Định lý 1: Nếu hàm f  liên tục tại a và f(a)≠0  thì có một lân cận U(a) của a sao cho mỗi x thuộc về lân cận đó thì f(x) cùng dấu với f(a).

Định lý 2 : Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f bị chặn trên đoạn [a;b]

Định lý 3 : Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f  đạt được giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn đó.

Định lý 4 : Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f (a).f(b)<0 thì có ít nhất một giá trị c thuộc khoảng (a;b) sao cho f(c)=0

Định lý 5 :  Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f (a)=A, f(b)=B. Lúc đó nếu C là số nằm giữa A và B thì có ít nhất một giá trị c thuộc khoảng (a;b) sao cho f(c)=C.

Định lý 6 :  Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất m và gía trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó.

PHẦN II : Các vấn đề giải toán :

Định hướng 1 : Bài toán chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm

Ta xét hàm số f(x), kiểm tra tính chất liên tục. Trên miền liên tục đó, tìm chọn 2 giá trị a,b phân biệt mà f(a)f(b)≤0, từ đó lý luận đến điều phải chứng minh.

Lưu ý :

• Nếu có thì tồn tại , sao cho đủ lớn và
• Nếu có thì tồn tại , sao cho đủ lớn và
• Nếu có thì tồn tại đủ lớn  sao cho
• Nếu có thì tồn tại đủ lớn  sao cho

Định hướng 2 : Bài toán chứng minh phương trình f(x)=g(x) có nghiệm

Cách 1 : Xét hàm số h(x)=f(x)-g(x) như định hướng 1

Cách 2 : Nếu phương trình dạng A(x)/B(x) =C(x) , ta biến đổi về dạng

A(x)/B(x) - C(x) =0 hoặc A(x) - B(x)C(x) =0 với điều kiện B(x)≠0.  Đôi khi ta còn biến đổi tương đương theo nhiều cách khác, chẳng hạn nâng lũy thừa, lấy căn thức của 2 vế phương trình...( chú ý điều kiện xác định và  điều kiện có nghiệm)

Định hướng 3 : Bài toán chứng minh tồn tại số c thỏa mãn một đẳng thức

  Ta có thể thay thế c bởi biến x và đưa đẳng thức về dạng phương trình có ẩn số x. Bài toán trở về bài toán theo định hướng 1 hoặc 2.

Bài tập :

Bài 1 :   Chứng minh phương trình  m(x-3)(x-5)+x2 -15=0 luôn có nghiệm với mọi m.

 Hướng dẫn :

Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R. Mặt khác nên tồn tại sao cho , hay phương trình luôn có nghiệm khi m thay đổi.

Bài 2 :   Chứng minh phương trình  ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0 luôn có nghiệm với mọi a,b,c.

Hướng dẫn :

   Đặt , ta có  xác định và liên tục trên R, và :  

          

                                                    

      Suy ra

• Nếu , thì một trong ba giá trị a,b,c là  nghiệm của phương trình .
• Nếu thì tồn tại và  khác 0 sao cho , mà nên do đó phương trình  có nghiệm

 Bài 3 :   Chứng minh các phương trình  sau có nghiệm :

a) 3x+4x=8x         b) sinx +1 = x

Hướng dẫn :

a)     Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R. Mặt khác nên tồn tại sao cho , hay phương trình luôn có nghiệm.

b)    Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R. Mặt khác nên tồn tại sao cho , hay phương trình luôn có nghiệm.

Bài 4 :   Chứng minh các phương trình  sau luôn có nghiệm với mọi tham số

1)    , m là tham số .  

2) với a,b,c là tham số

 Hướng dẫn :

1)    Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên .

Ta có  nên tồn tại sao cho

và  nên tồn tại sao cho

với đủ bé sao cho .

  Do đó nên tồn tại sao cho , hay phương trình luôn có nghiệm.

 

2)    Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có  :                        

                                    

Nên  do đó tồn tại hai giá trị    thuộc  sao cho hay phương trình luôn có nghiệm.

 Bài 5 :   Cho 3 số a,b,c thoả 12a+15b+20c =0  . Chứng minh phương trình luôn có nghịêm thụôc đọan

Hướng dẫn :

         Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có  :          nên    

                       nên     

do đó     suy ra  một trong hai giá trị  có một giá trị âm và một giá trị dương, hoặc cả hai giá trị đều bằng 0.

   Từ kết quả trên ta có phương trình luôn có nghiệm

Bài 6 :   Cho 3 số a,b,c thoả 5a+4b+6c =0  . Chứng minh phương trình luôn có nghịêm.

 Hướng dẫn :

         Xét hàm số  , khi đó hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có  :        ,       ,  

do đó    

suy ra  tồn tại  hai giá trị    thuộc  sao cho

 hay phương trình luôn có nghiệm.

Bài 7 :   Cho f là hàm số xác định và liên tục trên R . CMR nêú f (0)=f(1) và vơí m nguyên dương bất kỳ thì phương trình có nghịêm.

 Hướng dẫn :

    Đặt   khi đó hàm số xác định và liên tục trên R.

  Ta có  :

• Nếu  thì phương trình có nghịêm.
• Nếu các giá trị   không đồng thời bằng 0 thì tồn tại hai số thuộc thỏa hay phương trình có nghiệm, suy ra phương trình có nghịêm.